ΛΥΣΗ

α)

1. Από τα δεδομένα έχουμε ότι οι κύκλοι με κέντρα τα σημεία ${\rm O}$ και ${\rm K}$ είναι ίσοι ακτίνας $\rho$. Οπότε θα είναι ${\rm A}{\rm O}={\rm O}{\rm K}=\rho$, ως ακτίνες του κύκλου με κέντρο το ${\rm O}$. Ισχύει επίσης ότι ${\rm K}{\rm A}=\rho$ ως ακτίνα του κύκλου κέντρου ${\rm K}$. Άρα ${\rm A}{\rm O}={\rm O}{\rm K}={\rm K}{\rm A}=\rho (1)$. Επομένως το τρίγωνο ${\rm O}{\rm A}{\rm K}$ είναι ισόπλευρο.

2. Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$, η πλευρά του ${\rm B}{\rm K}$ είναι διάμετρος του κύκλου $({\rm O},\rho )$ και το ${\rm O}$ είναι το μέσο της ως κέντρο του κύκλου οπότε ισχύει ότι ${\rm O}{\rm B}={\rm O}{\rm K}=\rho (2)$ και άρα το τμήμα ${\rm A}{\rm O}$ είναι διάμεσος στην πλευρά ${\rm B}\Gamma$. Από τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ έχουμε ότι ${\rm A}{\rm O}={\rm O}{\rm B}={\rm O}{\rm K}$ ή ${\rm A}{\rm O}={\displaystyle \frac{{\rm B}{\rm K}}{2}}$. Επομένως η διάμεσος ${\rm A}{\rm O}$ που αντιστοιχεί στην πλευρά ${\rm B}{\rm K}$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ είναι ίση με το μισό της, άρα το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά ${\rm B}\Gamma$.

β) Από το αi) ερώτημα έχουμε ότι το τρίγωνο ${\rm O}{\rm A}{\rm K}$ είναι ισόπλευρο, οπότε $\widehat{{\rm B}{\rm K}{\rm A}}={60}^0$. Από το αii) ερώτημα έχουμε ότι το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ${\rm B}{\rm K}$, οπότε $\widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm K}}={90}^0$. Για τις γωνίες του τριγώνου ${\rm B}{\rm A}{\rm K}$ ισχύει ότι $\widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm K}}+\widehat{{\rm B}{\rm K}{\rm A}}+\widehat{{\rm A}{\rm B}{\rm K}}={180}^0$, οπότε θα έχουμε ${90}^0+{60}^0+\widehat{{\rm A}{\rm B}{\rm K}}={180}^0$ ή $\widehat{{\rm A}{\rm B}{\rm K}}={30}^0$.