ΛΥΣΗ

α) Τα σημεία \(Α\) και \(Β\) είναι σημεία επαφής των εφαπτόμενων τμημάτων \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\) με τον κύκλο αντίστοιχα και \(ΟΑ\), \(ΟΒ\) ακτίνες του κύκλου που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής.

Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι κάθετα στις ακτίνες που αντιστοιχούν στα σημεία επαφής, οπότε θα είναι \(\hat{ΟΑΡ} = 90^0\) και \(\hat{ΟΒΡ}= 90^0\).

Για τις γωνίες του τετράπλευρου \(ΡΑΟΒ\) ισχύει ότι:
\(\hat{ΑΡΒ} + \hat{ΟΒΡ} + \hat{ΑΟΒ} + \hat{ΟΑΡ} = 360^0\) ή \(60^0 + 90^0+ \hat{ΑΟΒ} + 90^0 = 360^0\)
ή \(\hat{ΑΟΒ} = 360^0 - 240^0\) ή \(\hat{ΑΟΒ} = 120^0\)

β) Φέρνουμε την διακεντρική ευθεία \(ΡΟ\).

1. Γνωρίζουμε ότι η διακεντρική ευθεία \(ΡΟ\) διχοτομεί τη γωνία \(\hat{ΑΡΒ}\) των εφαπτόμενων τμημάτων \(ΡΑ\) και \(ΡΒ\), άρα \(\hat{ΑΡΟ} = \dfrac{Α\hat{Ρ}Β}{2} = \dfrac{60^{0}}{2} = 30^0\).

2. Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(\hat{ΟΑΡ} = 90^0\), οπότε το τρίγωνο \(ΟΑΡ\) είναι ορθογώνιο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΟΑΡ\) η γωνία \(\hat{ΑΡΟ}\), λόγω του βi) ερωτήματος, ισούται με \(30^0\), οπότε η απέναντι κάθετη πλευρά \(ΑΟ\) ισούται με το μισό της υποτείνουσας \(ΡΟ\), δηλαδή \(ΟΑ = \dfrac{ΟΡ}{2}\) ή \(ΟΡ = 2 \cdot ΟΑ = 2 \cdot 4 = 8 \ cm\).