ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+κx-4\) έχει διακρίνουσα:
\(Δ=κ^{2}-4\cdot 3\cdot (-4)=κ^{2}+48>0,\) για κάθε \(κ \in \mathbb{R}\)
Άρα το τριώνυμο έχει για οποιαδήποτε τιμή του \(κ\) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Για το γινόμενο των ριζών έχουμε:

$$P=x_{1}x_{2}$$ $$=\dfrac{γ}{α}$$ $$=\dfrac{-4}{3} < 0$$

Άρα, οι ρίζες είναι ετερόσημες.

γ) Επειδή \(x_{1}<x_{2}\) και οι ρίζες είναι ετερόσημες, ισχύει ότι:

$$x_{1} < 0 < x_{2}$$

Επίσης είναι \(α<x_{1}\) και \(x_{2} < β\). Άρα:

$$α<0\ \ \text{και}\ \ 0 < β\ \ \ \ (1)$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμου συμπεραίνουμε ότι:

$$α < x_{1} $$ $$\Rightarrow f(α)>0\ \ \text{και}\ \ x_{2} < β $$ $$\Rightarrow f(β)>0\ \ \ \ (2)$$

Από τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) βρίσκουμε ότι:

$$α\cdot f(α)\cdot β\cdot f(β)<0$$