ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $f(x)=3x^2+\kappa x-4$ έχει διακρίνουσα:
$\Delta ={\kappa }^2-4\cdot 3\cdot (-4)={\kappa }^2+48>0,$ για κάθε $\kappa \in \mathbb{R}$
Άρα το τριώνυμο έχει για οποιαδήποτε τιμή του $\kappa$ δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Για το γινόμενο των ριζών έχουμε:

$$P=x_1{x}_2$$ $$={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-4}{3}}<0$$

Άρα, οι ρίζες είναι ετερόσημες.

γ) Επειδή $x_1<x_2$ και οι ρίζες είναι ετερόσημες, ισχύει ότι:

$$x_1<0<x_2$$

Επίσης είναι $\alpha <x_1$ και $x_2<\beta$. Άρα:

$$\alpha <0\text{και}0<\beta (1)$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμου συμπεραίνουμε ότι:

$$\alpha <x_1$$ $$\Rightarrow f(\alpha )>0\text{και}{x}_2<\beta$$ $$\Rightarrow f(\beta )>0(2)$$

Από τις ανισώσεις $(1)$ και $(2)$ βρίσκουμε ότι:

$$\alpha \cdot f(\alpha )\cdot \beta \cdot f(\beta )<0$$