ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-3x-4$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-3$, $\gamma =-4$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$ είναι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{3\pm 5}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3+5}{2}}=4\\ \\ {\displaystyle \frac{3-5}{2}}=-1\end{array}$$

β)

1. Ο αριθμός ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$ είναι λύση της εξίσωσης $(1)$ αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

   $$({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}{)}^2-3{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}-4=0$$ $$\iff {\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}}-3{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}-4=0$$ $$\stackrel{\beta \ne 0}{\iff }{\alpha }^2-3\alpha \beta -4{\beta }^2=0$$

   το οποίο ισχύει από την υπόθεση.

2. Στο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης $(1)$ είναι οι $x_1=4$ και $x_2=-1$.

   Επίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$ είναι λύση της εξίσωσης $(1)$. Οπότε, πρέπει:

   $${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=4\text{ή}{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=-1$$

   Επειδή οι $\alpha$, $\beta$ είναι ομόσημοι, η περίπτωση ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=-1$ απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:

   $${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=4$$ $$\iff \alpha =4\beta$$

   δηλαδή, ο $\alpha$ είναι τετραπλάσιος του $\beta$.