ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma$ και ${\rm B}\Delta$, $\Gamma {\rm E}$ διχοτόμοι των γωνιών του ${\rm B}$, $\Gamma$ αντίστοιχα.

α) Τα τρίγωνα ${\rm B}\Gamma \Delta$ και $\Gamma {\rm B}{\rm E}$ έχουν:

• ${\rm B}\Gamma$ κοινή πλευρά
• $\widehat{{\rm B}}=\hat{\Gamma }$ γωνίες βάσης ισοσκελούς τριγώνου
• $\widehat{{{\rm B}}_1}={\displaystyle \frac{\hat{B}}{2}}={\displaystyle \frac{\hat{\Gamma }}{2}}=\widehat{{\Gamma }_1}$ ως μισά των ίσων γωνιών ${\rm B}$ και $\Gamma$ του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$.

Τα τρίγωνα ${\rm B}\Gamma \Delta$ και $\Gamma {\rm B}{\rm E}$ είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία ($\Gamma \Pi \Gamma$).

β) Έστω ${\rm E}{\rm H}$ και $\Delta {\rm Z}$ οι κάθετες στην πλευρά ${\rm B}\Gamma$.

Από το α) ερώτημα τα τρίγωνα ${\rm B}\Gamma \Delta$ και $\Gamma {\rm B}{\rm E}$ είναι ίσα, άρα θα είναι ίσες και οι πλευρές τους ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma \Delta$ που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\widehat{{\Gamma }_1}$ και $\widehat{{{\rm B}}_1}$ αντίστοιχα. $(1)$

Τα τρίγωνα ${\rm E}{\rm B}{\rm H}$ και $\Delta {\rm Z}\Gamma$ έχουν:

• $\widehat{{\rm H}}=\widehat{{\rm Z}}={90}^0$ (αφού ${\rm E}{\rm H}$ και $\Delta {\rm Z}$ είναι κάθετες στη ${\rm B}\Gamma$)
• $\widehat{{\rm B}}=\hat{\Gamma }$ (ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$)
• $BE=\Gamma \Delta$ από $(1)$

Άρα είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Οπότε είναι και $EH=\Delta Z$ ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\widehat{{\rm B}}$ και $\hat{\Gamma }$ αντίστοιχα.