α) Η ${\rm M}{\rm N}$ είναι διάμεσος στο ισοσκελές τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$, οπότε η ${\rm M}{\rm N}$ θα ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων ${\rm A}{\rm B}$ και $\Gamma \Delta$ του τραπεζίου, δηλαδή

$${\rm M}{\rm N}={\displaystyle \frac{{\rm A}{\rm B}+\Gamma \Delta }{2}},(1)$$

Η σχέση $(1)$ με βάση τα δεδομένα γίνεται:

$$x+4={\displaystyle \frac{3x+2+x+2}{2}}$$ $$\iff x+4={\displaystyle \frac{4x+4}{2}}$$ $$\iff x+4=2x+2$$ $$\iff x=2$$

β) Για τις γωνίες του τραπεζίου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ ισχύει $\widehat{{\rm A}}+\widehat{{\rm B}}+\hat{\Gamma }+\hat{\Delta }={360}^o$.
Αφού το τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες οι προσκείμενες στις βάσεις του ${\rm A}{\rm B}$ και $\Gamma \Delta$ θα είναι ίσες, δηλαδή $\hat{A}=\hat{B}$ και $\hat{\Gamma }=\hat{\Delta }$.

Οπότε η σχέση του αθροίσματος των γωνιών του τραπεζίου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ γίνεται:

$$2\widehat{{\rm B}}+2\hat{\Gamma }={360}^o$$ $$\iff \widehat{{\rm B}}+\hat{\Gamma }={180}^o$$

και αφού από την υπόθεση είναι $\widehat{{\rm B}}=2\hat{\Gamma }$ τότε

$$2\hat{\Gamma }+\hat{\Gamma }={180}^o$$ $$\iff 3\hat{\Gamma }=180o$$ $$\iff \hat{\Gamma }={60}^o.$$

Όμως είναι $\hat{\Gamma }=\hat{\Delta }$, άρα θα είναι και $\hat{\Delta }={60}^o.$
Αφού από την υπόθεση ισχύει ότι $\widehat{{\rm B}}=2\hat{\Gamma }$, τότε θα είναι $\widehat{{\rm B}}=2\cdot {60}^o={120}^o.$

Όμως $\widehat{{\rm A}}=\widehat{{\rm B}}$, οπότε θα είναι $\widehat{{\rm A}}={120}^o.$