Λύση

α)
i) Είναι:

$$A+B={\displaystyle \frac{1}{5+\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{5}}}$$ $$={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}}+{\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}}$$ $$={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}+5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}}$$ $$={\displaystyle \frac{10}{5^2-{\sqrt{5}}^2}}={\displaystyle \frac{10}{25-5}}$$ $$={\displaystyle \frac{10}{20}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

2. Ισχύει ότι:

$$A\cdot B={\displaystyle \frac{1}{5+\sqrt{5}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{5}}}$$ $$={\displaystyle \frac{1}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}}$$ $$={\displaystyle \frac{1}{5^2-(\sqrt{5}{)}^2}}$$ $$={\displaystyle \frac{1}{25-5}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$$

β) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: $x^2-Sx+P=0,$ με

$$S=A+B={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

και

$$P=A\cdot B={\displaystyle \frac{1}{20}}$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{20}}=0$$ $$\iff 20x^2-10x+1=0$$