Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 6713 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34436 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 18-Μαΐ-2023 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34436 | ||
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 18-Μαΐ-2023 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι αριθμοί: \(A=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}\), \(B=\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i) \(A+B=\dfrac{1}{2}\)
(Μονάδες 8)
i) \(A\cdot B=\dfrac{1}{20}\)
(Μονάδες 8)
β) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(Α\) και \(Β\).
(Μονάδες 9)
Λύση
α)
i) Είναι:
$$A+B=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}$$ $$ =\dfrac{5−\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}+\dfrac{5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$ $$=\dfrac{5−\sqrt{5}+5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$ $$=\dfrac{10}{5^{2}−\sqrt{5}^{2}}=\dfrac{10}{25−5}$$ $$=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$$
- Ισχύει ότι:
$$A \cdot B = \dfrac{1}{5+\sqrt{5}}\cdot \dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$$ $$= \dfrac{1}{(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}$$ $$= \dfrac{1}{5^2-(\sqrt{5})^2}$$ $$=\dfrac{1}{25−5}=\dfrac{1}{20}$$
β) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \(x^{2}−Sx+P=0,\) με
$$S=A+B=\dfrac{1}{2}$$
και
$$P=A\cdot B=\dfrac{1}{20}$$
Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:
$$x^2-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{20}=0$$ $$\Leftrightarrow 20x^2-10x+1=0$$