α) Είναι: $\alpha =1$, $\beta =–2\lambda$ και $\gamma =4(\lambda –1)$.
Τότε:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-2\lambda {)}^2-4\cdot 1\cdot 4(\lambda -1)$$ $$=4{\lambda }^2-16\lambda +16$$ $$=(2\lambda -4{)}^2$$

β) Επειδή $\Delta =(2\lambda –4{)}^2\ge 0$, για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ η εξίσωση δεν είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$.

Συγκεκριμένα ισχύουν τα παρακάτω:

• Αν:

  $$\Delta =0$$ $$\iff (2\lambda –4{)}^2=0$$ $$\iff 2\lambda –4=0$$ $$\iff 2\lambda =4$$ $$\iff {\displaystyle \frac{2\lambda }{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}$$ $$\iff \lambda =2$$

  τότε η εξίσωση $(1)$ έχει μια διπλή λύση.

• Αν:

  $$\Delta >0$$ $$\iff (2\lambda –4{)}^2>0$$ $$\iff 2\lambda –4\ne 0$$ $$\iff \lambda \ne 2$$

  τότε η εξίσωση $(1)$ έχει δύο ρίζες άνισες.

γ) Ο αριθμός $x=2$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(1)$ άρα την επαληθεύει.

Έτσι έχουμε:

$$2^2-2\lambda \cdot 2+4(\lambda -1)=0$$ $$\iff 4-4\lambda +4\lambda -4=0$$ $$\iff 0\lambda =0,\text{ταυτότητα}$$

Τελικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου $\lambda$ ο αριθμός $x=2$ είναι λύση της εξίσωσης $(1)$.