α) Είναι: \(α = 1\), \(β = – 2λ\) και \(γ = 4(λ – 1)\).
Τότε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2λ)^{2}-4\cdot 1\cdot 4(λ-1)$$ $$=4λ^{2}-16λ+16$$ $$=(2λ-4)^{2}$$

β) Επειδή \(Δ=(2λ–4)^{2}\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) η εξίσωση δεν είναι αδύνατη στο \(\mathbb{R}\).

Συγκεκριμένα ισχύουν τα παρακάτω:

• Αν:

  $$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (2λ–4)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ–4=0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ=4 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{2λ}{2}=\dfrac{4}{2} $$ $$\Leftrightarrow λ= 2$$

  τότε η εξίσωση \((1)\) έχει μια διπλή λύση.

• Αν:

  $$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow (2λ–4)^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ–4\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 2$$

  τότε η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες.

γ) Ο αριθμός \(x=2\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((1)\) άρα την επαληθεύει.

Έτσι έχουμε:

$$2^{2}-2λ\cdot 2+4(λ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4-4λ+4λ-4=0 $$ $$\Leftrightarrow 0λ=0,\ \ \text{ταυτότητα}$$

Τελικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \(λ\) ο αριθμός \(x=2\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\).