Λύση

α) Το τριώνυμο $x^2-2\beta x+{\beta }^2-4$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-2\beta {)}^2-4\cdot 1\cdot ({\beta }^2-4)$$ $$=4{\beta }^2-4{\beta }^2+16=16>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{2\beta \pm 4}{2}}$$

οπότε έχουμε:

$$x_1=\beta +2\text{,}{x}_2=\beta -2$$

Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Η $x_1=\beta +2$ είναι ρίζα της $(1)$, διότι την επαληθεύει:

$$(\beta +2{)}^2-2\beta (\beta +2)+{\beta }^2-4={\beta }^2+4\beta +4-2{\beta }^2-4\beta +{\beta }^2-4=0$$

Ομοίως η $x_2=\beta -2$ είναι ρίζα της $(1)$, διότι την επαληθεύει:

$$(\beta -2{)}^2-2\beta (\beta -2)+{\beta }^2-4={\beta }^2-4\beta +4-2{\beta }^2+4\beta +{\beta }^2-4=0$$

Συνεπώς, η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις $x_1$, $x_2$, με $x_1\ne x_2$.

β) Οι αριθμοί $\beta -2$, $\beta$, $\beta +2$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: $\beta -(\beta -2)=2$ και $(\beta +2)–\beta =2$, δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: $\omega =2$.