ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-4x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3$$ $$=16-12=4$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{4\pm 2}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{4+2}{2}=3 \\ \dfrac{4-2}{2}=1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-4x+3 < 0 $$ $$\Leftrightarrow 1 < x < 3 $$

β) Για να είναι ο \(\dfrac{α+β}{2}\) λύση της ανίσωσης \((1)\) αρκεί να δείξουμε \(1<\dfrac{α+β}{2}<3\).

Έχουμε ότι:

$$\left. \array { 1<α<3 \cr 1<β<3 } \right\} \overset{(+)}{\Rightarrow} 2<α+β<6 $$ $$\overset{(:2)}{\Rightarrow} 1<\dfrac{α+β}{2}<3$$