ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-4x+3$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3$$ $$=16-12=4$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4+2}{2}}=3\\ {\displaystyle \frac{4-2}{2}}=1\end{array}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του $x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^2-4x+3<0$$ $$\iff 1<x<3$$

β) Για να είναι ο ${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$ λύση της ανίσωσης $(1)$ αρκεί να δείξουμε $1<{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}<3$.

Έχουμε ότι:

$$\begin{array}{c}1<\alpha <3\\ 1<\beta <3\end{array}\}\stackrel{(+)}{\Rightarrow }2<\alpha +\beta <6$$ $$\stackrel{(:2)}{\Rightarrow }1<{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}<3$$