ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-10x+21$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 21$$ $$=100-84=16$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-10)\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{10\pm 4}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{10+4}{2}}=7\\ {\displaystyle \frac{10-4}{2}}=3\end{array}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του $x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^2-10x+21<0$$ $$\iff 3<x<7$$

β) Για $3<x<7$, από το (α) ερώτημα έχουμε ότι: $x^2-10x+21<0$.

Οπότε:

$${\rm A}=|x^2-10x+21|+x^2-10x+22=$$ $$=-(x^2-10x+21)+x^2-10x+22=1$$

Δηλαδή, η παράσταση ${\rm A}$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη του $x$.