ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+9x-12\) έχει \(α=3\), \(β=9\), \(γ=-12\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=9^{2}-4\cdot 3\cdot (-12)$$ $$=81+144=225>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-9\pm \sqrt{225}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{-9\pm 15}{6}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-9+15}{6}=1 \\ \dfrac{-9-15}{6}=-4 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως ισχύει:

$$f(x)\le 0 $$ $$\Leftrightarrow 3x^{2}+9x-12\le 0 $$ $$\Leftrightarrow -4\le x\le 1 $$ $$\Leftrightarrow x\in [-4,1]$$

β) Ο αριθμός \(\sqrt[3]{2}\) είναι λύση της ανίσωσης αν και μόνο αν:

$$-4\le \sqrt[3]{2}\le 1 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}\le 1 $$ $$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2})^{3}\le 1^{3} $$ $$\Leftrightarrow 2\le 1$$

Το οποίο δεν ισχύει. Άρα ο αριθμός \(\sqrt[3]{2}\) δεν είναι λύση της ανίσωσης.