ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί \(κ-2\), \(2κ\) και \(7κ+4\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2κ)^{2}=(κ-2)\cdot (7κ+4) $$ $$\Leftrightarrow 4κ^{2}=7κ^{2}+4κ-14κ-8 $$ $$\Leftrightarrow 3κ^{2}-10κ-8=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-10)^{2}-4\cdot 3\cdot (-8)$$ $$=100+96=196>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$κ_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{196}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{10\pm 14}{6}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{10+14}{6}=4 \\ \dfrac{10-14}{6}=-\dfrac{2}{3} \end{cases}$$

Η τιμή \(κ=-\dfrac{2}{3}<0\) απορρίπτεται. Άρα \(κ=4\).

Για \(κ=4\) οι αριθμοί γράφονται \(2\), \(8\), \(32\) οπότε ο λόγος είναι:

$$λ=\dfrac{8}{2}=4$$

β)

1. Είναι:

$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1}=4α_{1}$$ $$α_{4}=α_{1}λ^{4-1}=α_{1}4^{3}=64α_{1}$$ $$α_{5}=α_{1}λ^{5-1}=α_{1}4^{4}=256α_{1}$$

2. Ισχύει ότι:

$$α_{2}+α_{5}$$ $$=4α_{1}+256α_{1}$$ $$=4(α_{1}+64α_{1})$$ $$=4(α_{1}+α_{4})$$