ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $\kappa -2$, $2\kappa$ και $7\kappa +4$ είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2\kappa {)}^2=(\kappa -2)\cdot (7\kappa +4)$$ $$\iff 4{\kappa }^2=7{\kappa }^2+4\kappa -14\kappa -8$$ $$\iff 3{\kappa }^2-10\kappa -8=0(1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot (-8)$$ $$=100+96=196>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$${\kappa }_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-10)\pm \sqrt{196}}{2\cdot 3}}$$ $$={\displaystyle \frac{10\pm 14}{6}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{10+14}{6}}=4\\ {\displaystyle \frac{10-14}{6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

Η τιμή $\kappa =-{\displaystyle \frac{2}{3}}<0$ απορρίπτεται. Άρα $\kappa =4$.

Για $\kappa =4$ οι αριθμοί γράφονται $2$, $8$, $32$ οπότε ο λόγος είναι:

$$\lambda ={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$$

β)

1. Είναι:

$${\alpha }_2={\alpha }_1{\lambda }^{2-1}=4{\alpha }_1$$ $${\alpha }_4={\alpha }_1{\lambda }^{4-1}={\alpha }_1{4}^3=64{\alpha }_1$$ $${\alpha }_5={\alpha }_1{\lambda }^{5-1}={\alpha }_1{4}^4=256{\alpha }_1$$

2. Ισχύει ότι:

$${\alpha }_2+{\alpha }_5$$ $$=4{\alpha }_1+256{\alpha }_1$$ $$=4({\alpha }_1+64{\alpha }_1)$$ $$=4({\alpha }_1+{\alpha }_4)$$