ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$α^{2}β+αβ^{2}=20 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow 4(α+β)=20 $$ $$\Leftrightarrow α+β=5$$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^{2}-Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=5\ \ \text{και}\ \ P=α\cdot β=4$$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}-5x+4=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+4\) έχει \(α=1\), \(β=-5\), \(γ=4\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{5\pm 3}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{5+3}{2}=4 \\ \dfrac{5-3}{2}=1 \end{cases}$$