ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $x+4$, $2-x$, $6-x$, είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2-x{)}^2=(6-x)\cdot (x+4)$$ $$\iff 4-4x+x^2=6x+24-x^2-4x$$ $$\iff 2x^2-6x-20=0$$ $$\iff x^2-3x-10=0(1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)$$ $$=9+40=49>0$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{3\pm 7}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3+7}{2}}=5\\ {\displaystyle \frac{3-7}{2}}=-2\end{array}$$

β) Για $x=5$:

$${\alpha }_4=6-x=1$$ $${\alpha }_3=2-x=-3$$ $${\alpha }_2=x+4=9$$

Ο λόγος είναι $\lambda ={\displaystyle \frac{{\alpha }_4}{{\alpha }_3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Είναι:

$${\alpha }_2={\alpha }_1{\lambda }^{2-1}$$ $$\iff 9={\alpha }_1(-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ $$\iff {\alpha }_1=-27$$