ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$$-2x^{2}+10x-12=0$$ $$\overset{:(-2)}{\Leftrightarrow} x^{2}-5x+6=0$$

Για \(α=1\), \(β=-5\) και \(γ=6\), βρίσκουμε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6$$ $$=25-24=1>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{5\pm 1}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{5+1}{2} =3 \\ \dfrac{5-1}{2} =2 \end{cases}$$

β) Πρέπει:

$$x-2\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow x\ne 2$$

Τότε ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

$$\dfrac{-2x^{2}+10x-12}{x-2}=0 $$ $$\Leftrightarrow -2x^{2}+10x-12=0$$ $$\overset{(α)}{\Leftrightarrow} (x=3\ \text{ή}\ x=2)$$

Η ρίζα \(x=2\) απορρίπτεται λόγω του περιορισμού. Τελικά η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την \(x=3\).