ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί $x$, $2x+1$, $5x+4$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2x+1{)}^2=x\cdot (5x+4)$$ $$\iff 4x^2+4x+1=5x^2+4x$$ $$\iff x^2=1$$ $$\iff (x=-1\text{ή}x=1)$$

β)
i. Για $x=1$ οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:

$$1,3,9$$

Ο λόγος $\lambda$ είναι:

$$\lambda ={\displaystyle \frac{3}{1}}=3$$

ii. Για $x=-1$ οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:

$$-1,-1,-1$$

Ο λόγος $\lambda$ είναι:

$$\lambda ={\displaystyle \frac{-1}{-1}}=1$$