ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(2x^{2}-3x-2\) έχει \(α=2\), \(β=-3\), \(γ=-2\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot (-2)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{β^{2}-4αγ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}$$ $$=\dfrac{3\pm 5}{4}=\begin{cases}\dfrac{3+5}{4} & =2 \\ \dfrac{3-5}{4} & = - \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Τότε:

$$2x^{2}-3x-2=2\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)(x-2)$$ $$=(2x+1)(x-2)$$

β) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση \(Κ\) πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή:

$$2x^{2}-3x-2\ne 0$$ $$\overset{α)}{ \Leftrightarrow } (2x+1)(x-2)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x+1\ne 0\ \ \text{και}\ \ x-2\ne 0) $$ $$\Leftrightarrow (x\ne -\dfrac{1}{2}\ \ \text{και}\ \ x\ne 2)$$

γ) Για \(x\ne -\dfrac{1}{2}\) και \(x\ne 2\) ισχύει ότι:

$$Κ=\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$ $$=\dfrac{(x-2)^{2}}{(2x+1)(x-2)}$$ $$=\dfrac{x-2}{2x+1}$$