ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-\lambda x+1$ έχει: $\alpha =1$, $\beta =-\lambda$, $\gamma =1$.

Έχουμε:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-\lambda {)}^2-4\cdot 1\cdot 1$$ $$={\lambda }^2-4,\lambda \in \mathbb{R}$$

β)

1. Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των $C_f$, $C_g$ πρέπει και αρκεί να λύσουμε την εξίσωση $g(x)=f(x)$.

   Έχουμε διαδοχικά:

   $$g(x)=f(x)$$ $$\iff x^2-\lambda +3=\lambda x-\lambda +2$$ $$\iff x^2-\lambda x+1=0$$

2. Για $\lambda =1$ έχουμε: $\Delta =1^2-4=-3<0$.
   Για $\lambda =2$ έχουμε: $\Delta =2^2-4=0$.
   Για $\lambda =4$ έχουμε: $\Delta =4^2-4=12>0$.

   Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης για κάθε $x\in \mathbb{R}$, επομένως ισχύει:

   $$g(x)>f(x)(1)$$

   για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

   Έχουμε:

   $$(1)\iff x^2-\lambda +3>\lambda x-\lambda +2$$ $$\iff x^2-\lambda x+1>0$$

   για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

   Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο $x^2-\lambda x+1$ έχει σταθερό πρόσημο όταν $\Delta <0$ επομένως η τιμή του $\lambda$ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι $\lambda =1$.

   Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, επομένως η εξίσωση $g(x)=f(x)(2)$ έχει μία διπλή ρίζα.
   Έχουμε:

   $$(2)\iff x^2-\lambda +3=\lambda x-\lambda +2$$ $$\iff x^2-\lambda x+1=0$$

   Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο $x^2-\lambda x+1$ έχει μία διπλή ρίζα όταν $\Delta =0$ επομένως η τιμή του $\lambda$ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι $\lambda =2$.

   Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν δύο κοινά σημεία, επομένως η εξίσωση $g(x)=f(x)(3)$ έχει δύο άνισες λύσεις.

   Όπως και στην δεύτερη περίπτωση η εξίσωση $(3)$ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $x^2-\lambda x+1=0$.

   Γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο $x^2-\lambda x+1$ έχει δύο άνισες λύσεις όταν $\Delta >0$ επομένως η τιμή του $\lambda$ που αντιστοιχεί στο σχήμα αυτό είναι $\lambda =4$.