ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-2\lambda x+4\lambda +5$ έχει: $\alpha =1$, $\beta =-2\lambda$, $\gamma =4\lambda +5$.

Έχουμε:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-2\lambda {)}^2-4\cdot 1\cdot (4\lambda +5)$$ $$=4{\lambda }^2-16\lambda -20,\lambda \in \mathbb{R}$$

β)

1. Για $\lambda =-2$, έχουμε $\Delta =4(-2{)}^2-16(-2)-20=28>0$.

   Για $\lambda =4$, έχουμε $\Delta =4\cdot 4^2-16\cdot 4-20=-20<0$.

   Για το σχήμα 1: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{\prime }x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$, επομένως ισχύει $x^2-2\lambda x+4\lambda +5>0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει σταθερό πρόσημο όταν $\Delta <0$, επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή $\lambda =4$.

   Για το σχήμα 2: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ σε δύο σημεία επομένως η εξίσωση $x^2-2\lambda x+4\lambda +5=0$ έχει δύο άνισες λύσεις. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει δύο άνισες λύσεις όταν $\Delta >0$, επομένως το σχήμα αυτό αντιστοιχεί στην τιμή $\lambda =-2$.

2. Για το σχήμα 3: Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ έχει με τον άξονα $x^{\prime }x$ ένα ακριβώς κοινό σημείο επομένως η εξίσωση $x^2-2\lambda x+4\lambda +5=0$ έχει μία διπλή ρίζα. Γνωρίζουμε ότι ένα τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα όταν $\Delta =0$.

   Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα είναι ένα τριώνυμο του $\lambda$ με $\alpha =4$, $\beta =-16$, $\gamma =-20$ και διακρίνουσα:

   $${\Delta }^{\prime }=(-16{)}^2-4\cdot 4\cdot (-20)$$ $$=256+320=576$$

   Επομένως η διακρίνουσα $\Delta$ έχει ρίζες: ${\lambda }_1={\displaystyle \frac{16-24}{8}}=-1$ και ${\lambda }_2={\displaystyle \frac{16+24}{8}}=5$.

   Συμπεραίνουμε ότι οι δυνατές τιμές του $\lambda$ είναι $\lambda =-1$ ή $\lambda =5$.