ΛΥΣΗ

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma$ και σημεία ${\rm E}$, $\Delta$ στις προεκτάσεις των πλευρών ${\rm B}{\rm A}$, $\Gamma {\rm A}$ αντίστοιχα τέτοια ώστε ${\rm A}{\rm E}={\rm A}\Delta$.

α) Επειδή είναι $AB=A\Gamma$ και $AE=A\Delta$ από υπόθεση τότε: $AB+AE=A\Gamma +A\Delta$, άρα $BE=\Gamma \Delta$.

β) Τα τρίγωνα $\Delta {\rm B}{\rm A}$ και ${\rm E}{\rm A}\Gamma$ έχουν:

• ${\rm A}{\rm B}={\rm A}\Gamma$, από υπόθεση
• ${\rm A}\Delta ={\rm A}E$, από υπόθεση
• $\widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}}=\widehat{{\rm E}{\rm A}\Gamma }$, ως κατακορυφήν γωνίες.

Τα τρίγωνα $\Delta {\rm B}{\rm A}$ και ${\rm E}{\rm A}\Gamma$ έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα ($\Pi \Gamma \Pi$), οπότε $B\Delta =\Gamma E$ ως πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες $\widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}}$, $\widehat{{\rm E}{\rm A}\Gamma }$ αντίστοιχα.

γ) Τα τρίγωνα $\Delta {\rm B}{\rm A}$ και ${\rm E}{\rm A}\Gamma$ είναι ίσα οπότε: $\widehat{\Delta {\rm B}{\rm A}}=\widehat{{\rm E}\Gamma {\rm A}}(1)$ ως γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ${\rm A}\Delta$ και ${\rm A}{\rm E}$ αντίστοιχα. Στο ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι $\widehat{\Gamma {\rm B}{\rm A}}=\widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}}(2)$, ως γωνίες της βάσης του ${\rm B}\Gamma$. Οπότε $\widehat{\Delta {\rm B}{\rm A}}+\widehat{\Gamma {\rm B}{\rm A}}=\widehat{{\rm E}\Gamma {\rm A}}$ + $\widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}}$ ή $\widehat{\Delta {\rm B}\Gamma }=\widehat{{\rm E}\Gamma {\rm B}}$.