ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}-2λx+4λ+5=0\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=4λ^{2}-16λ-20=4(λ^{2}-4λ-5)$$

Όταν \(λ=-2\), τότε:

$$Δ=4(4+8-5)=28>0$$

οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Όταν \(λ=3\), τότε:

$$Δ=4(9-12-5)=-32<0$$

οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

β)

1. Όταν \(λ=5\) η εξίσωση έχει διακρίνουσα \(Δ=4(25-20-5)=0\), οπότε έχει μια διπλή ρίζα.

2. Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει \(Δ=0\). Είναι:

   $$Δ=0$$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-4λ-5=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=5\ \text{ή}\ λ=-1$$

   Επομένως, εκτός από την περίπτωση \(λ=5\) που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν \(λ=-1\).

γ) Ισχύει:

$$|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5$$ $$=-(λ^{2}-4λ-5),\ λ\in \mathbb{R}-\{-1,5\}$$

οπότε ο αριθμός \(λ^{2}-4λ+5\) είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα \(Δ=4(λ^{2}-4λ-5)\) είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.