ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση $x^2-2\lambda x+4\lambda +5=0$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =4{\lambda }^2-16\lambda -20=4({\lambda }^2-4\lambda -5)$$

Όταν $\lambda =-2$, τότε:

$$\Delta =4(4+8-5)=28>0$$

οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Όταν $\lambda =3$, τότε:

$$\Delta =4(9-12-5)=-32<0$$

οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

β)

1. Όταν $\lambda =5$ η εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta =4(25-20-5)=0$, οπότε έχει μια διπλή ρίζα.

2. Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει $\Delta =0$. Είναι:

   $$\Delta =0$$ $$\iff {\lambda }^2-4\lambda -5=0$$ $$\iff \lambda =5\text{ή}\lambda =-1$$

   Επομένως, εκτός από την περίπτωση $\lambda =5$ που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν $\lambda =-1$.

γ) Ισχύει:

$$|{\lambda }^2-4\lambda -5|=4\lambda -{\lambda }^2+5$$ $$=-({\lambda }^2-4\lambda -5),\lambda \in \mathbb{R}-\{-1,5\}$$

οπότε ο αριθμός ${\lambda }^2-4\lambda +5$ είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα $\Delta =4({\lambda }^2-4\lambda -5)$ είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.