ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g$ με τον άξονα $x^{\prime }x$ προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης $g(x)=0$. Είναι:

$$g(x)=0$$ $$\iff x^2-9=0$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=-3\\ x=3\end{array}$$

Επομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα $M(-3,0)$ και $N(3,0)$.

β) Είναι:

$$f(3)=4\cdot 3+2=14\ne 0$$

και

$$f(-3)=4\cdot (-3)+2=-10\ne 0$$

Επομένως, η γραφική παράσταση της $f$ δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία $M(-3,0)$ και $N(3,0)$.

γ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο $(x_o,0)$ του άξονα $x^{\prime }x$ στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ , $C_g$ των $f$, $g$. Τότε ισχύει:

$$\{\begin{array}{l}f(x_o)=0\\ g(x_o)=0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}4x_o+2=0\\ x_o^2=9\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{x}_o=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x_o=\pm 3\end{array}$$

που είναι άτοπο. Άρα οι $C_f$, $C_g$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $x^{\prime }x$.
Έστω ότι οι $C_f$, $C_g$ έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $y^{\prime }y$. Τότε έχουμε:

$$f(0)=g(0)$$ $$\iff 2=-9$$

που είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων $f$, $g$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα $y^{\prime }y$.

δ) Η γραφική παράσταση της $h$ είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής $h(x)=\alpha x+\beta$, $\alpha$, $\beta \in \mathbb{R}$. Η ευθεία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(0,3)$, οπότε έχουμε:

$$h(0)=3$$ $$\iff \alpha \cdot 0+\beta =3$$ $$\iff \beta =3$$

Επομένως έχουμε $h(x)=\alpha x+3$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Επιπλέον, η γραφική παράσταση της $h$ τέμνει την γραφική παράσταση της $g$ σε σημείο του ημιάξονα ${\rm O}x$ οπότε ισχύει:

$$h(3)=g(3)$$ $$\iff 3\alpha +3=0$$ $$\iff \alpha =-1$$

Τελικά η συνάρτηση h έχει τύπο $h(x)=-x+3$.