ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(g\) με τον άξονα \(x'x\) προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης \(g(x)=0\). Είναι:

$$g(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-9=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=-3 \\ x=3 \end{cases}$$

Επομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα \(M(-3,0)\) και \(N(3,0)\).

β) Είναι:

$$f(3)=4\cdot 3+2=14\ne 0$$

και

$$f(-3)=4\cdot (-3)+2=-10\ne 0$$

Επομένως, η γραφική παράσταση της \(f\) δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \(M(-3,0)\) και \(N(3,0)\).

γ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο \((x_{o},0)\) του άξονα \(x'x\) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις \(C_{f}\) , \(C_{g}\) των \(f\), \(g\). Τότε ισχύει:

$$\begin{cases} f(x_{o})=0 \\ g(x_{o})=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 4x_{o}+2=0 \\ x_{o}^{2}=9 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{o}=-\dfrac{1}{2} \\ x_{o}=\pm 3 \end{cases}$$

που είναι άτοπο. Άρα οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(x'x\).
Έστω ότι οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(y'y\). Τότε έχουμε:

$$f(0)=g(0) $$ $$\Leftrightarrow 2=-9$$

που είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων \(f\), \(g\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \(y'y\).

δ) Η γραφική παράσταση της \(h\) είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής \(h(x)=αx+β\), \(α\), \(β\in \mathbb{R}\). Η ευθεία διέρχεται από το σημείο \(Α(0,3)\), οπότε έχουμε:

$$h(0)=3 $$ $$\Leftrightarrow α\cdot 0+β=3 $$ $$\Leftrightarrow β=3$$

Επομένως έχουμε \(h(x)=αx+3\), \(α\in \mathbb{R}\). Επιπλέον, η γραφική παράσταση της \(h\) τέμνει την γραφική παράσταση της \(g\) σε σημείο του ημιάξονα \(Οx\) οπότε ισχύει:

$$h(3)=g(3) $$ $$\Leftrightarrow 3α+3=0 $$ $$\Leftrightarrow α=-1$$

Τελικά η συνάρτηση h έχει τύπο \(h(x)=-x+3\).