ΛΥΣΗ

α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

$$α_{2}-α_{1}=α_{3}-α_{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-3x-4-x=x^{2}-2-(2x^{2}-3x-4)$$ $$\Leftrightarrow 3x^{2}-7x-6=0 $$ $$\Leftrightarrow x=3\ \text{ή}\ x=-\dfrac{2}{3}$$

Η τιμή \(x=-\dfrac{2}{3}\) απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.

β) Η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο \(α_{1}=3\) και διαφορά \(ω=2\). Άρα ο ν-οστός όρος της είναι: \(α_{ν}=3+(ν-1)\cdot 2=2ν+1\).

Έστω ότι κάποιος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με \(2014\). Τότε η εξίσωση \(α_{ν}=2014\) έχει λύση θετικό ακέραιο αριθμό. Είναι:

$$α_{ν}=2014 $$ $$\Leftrightarrow 2ν+1=2014 $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{2013}{2}$$

που δεν είναι θετικός ακέραιος.

Επομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που είναι ίσος με \(2014\).

γ) Είναι:

$$S=α_{1}+α_{3}+α_{5}+...+α_{15}$$ $$=3+7+11+...+31$$

οπότε οι όροι του αθροίσματος σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο \((β_{ν})\) με πρώτο όρο \(β_{1}=3\) και διαφορά \(ω'=4\). Αν ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος, τότε έχουμε:

$$β_{ν}=31 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=31 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=32 $$ $$\Leftrightarrow ν=8$$

Επομένως το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι \(ν=8\) και το ζητούμενο άθροισμα είναι

$$S=S_{8}=\dfrac{8}{2}[2\cdot 3+(8-1)\cdot 4]=136$$