ΛΥΣΗ

α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

$${\alpha }_2-{\alpha }_1={\alpha }_3-{\alpha }_2$$ $$\iff 2x^2-3x-4-x=x^2-2-(2x^2-3x-4)$$ $$\iff 3x^2-7x-6=0$$ $$\iff x=3\text{ή}x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$

Η τιμή $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.

β) Η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο ${\alpha }_1=3$ και διαφορά $\omega =2$. Άρα ο ν-οστός όρος της είναι: ${\alpha }_{\nu }=3+(\nu -1)\cdot 2=2\nu +1$.

Έστω ότι κάποιος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με $2014$. Τότε η εξίσωση ${\alpha }_{\nu }=2014$ έχει λύση θετικό ακέραιο αριθμό. Είναι:

$${\alpha }_{\nu }=2014$$ $$\iff 2\nu +1=2014$$ $$\iff \nu ={\displaystyle \frac{2013}{2}}$$

που δεν είναι θετικός ακέραιος.

Επομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που είναι ίσος με $2014$.

γ) Είναι:

$$S={\alpha }_1+{\alpha }_3+{\alpha }_5+...+{\alpha }_{15}$$ $$=3+7+11+...+31$$

οπότε οι όροι του αθροίσματος σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο $({\beta }_{\nu })$ με πρώτο όρο ${\beta }_1=3$ και διαφορά ${\omega }^{\prime }=4$. Αν ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος, τότε έχουμε:

$${\beta }_{\nu }=31$$ $$\iff 3+(\nu -1)\cdot 4=31$$ $$\iff 4\nu =32$$ $$\iff \nu =8$$

Επομένως το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι $\nu =8$ και το ζητούμενο άθροισμα είναι

$$S=S_8={\displaystyle \frac{8}{2}}[2\cdot 3+(8-1)\cdot 4]=136$$