ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των $C_f$, $C_g$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=g(x)$. Είναι:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff x^2=\lambda x+1-\lambda$$ $$\iff x^2-\lambda x+\lambda -1=0(1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-\lambda {)}^2-4\cdot 1\cdot (\lambda -1)$$ $$={\lambda }^2-4\lambda +4$$ $$=(\lambda -2{)}^2\ge 0$$

για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$. Επομένως η $(1)$ έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου $\lambda$, οπότε οι $C_f$, $C_g$ έχουν, για κάθε τιμή του $\lambda$, ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

β) Η $(1)$ έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι $C_f$, $C_g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:

$$\Delta =0$$ $$\iff (\lambda -2{)}^2=0$$ $$\iff \lambda =2$$

Για $\lambda =2$, η εξίσωση γίνεται:

$$x^2-2x+1=0$$

η οποία έχει μοναδική λύση $x=1$.

Τότε $f(1)=1$, άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το $(1,1)$.

γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:

$$S=x_1+x_2$$ $$=-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=\lambda$$

οπότε με $\lambda \ne 2$ είναι:

$$(x_1+x_2{)}^2=|x_1+x_2|+2$$ $$\iff {\lambda }^2-|\lambda |+2=0$$ $$\iff |\lambda {|}^2-|\lambda |+2=0$$

Θέτουμε $|\lambda |=\kappa ,\kappa >0$ και η εξίσωση γράφεται:

$${\kappa }^2-\kappa -2=0$$ $$\iff \kappa =2\text{ή}\kappa =-1\text{(απορρίπτεται)}$$

Άρα, $|\lambda |=2\iff -\lambda =2$ ή $\lambda =2$, που απορρίπτεται, οπότε τελικά $\lambda =-2$.