ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \(C_{f}\), \(C_{g}\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\). Είναι:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=λx+1-λ $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-λx+λ-1=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-λ)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-1)$$ $$=λ^{2}-4λ+4$$ $$=(λ-2)^{2}\ge 0$$

για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\). Επομένως η \((1)\) έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου \(λ\), οπότε οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν, για κάθε τιμή του \(λ\), ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.

β) Η \((1)\) έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:

$$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow (λ-2)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=2$$

Για \(λ=2\), η εξίσωση γίνεται:

$$x^{2}-2x+1=0$$

η οποία έχει μοναδική λύση \(x=1\).

Τότε \(f(1)=1\), άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το \((1,1)\).

γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:

$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=-\dfrac{β}{α}=λ$$

οπότε με \(λ\ne 2\) είναι:

$$(x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2 $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-|λ|+2=0 $$ $$\Leftrightarrow |λ|^{2}-|λ|+2=0$$

Θέτουμε \(|λ|=κ,κ>0\) και η εξίσωση γράφεται:

$$κ^{2}-κ-2=0 $$ $$\Leftrightarrow κ=2\ \text{ή}\ κ=-1\ \ \text{(απορρίπτεται)}$$

Άρα, \(|λ|=2 \Leftrightarrow -λ=2\) ή \(λ=2\), που απορρίπτεται, οπότε τελικά \(λ=-2\).