ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \((1)\) είναι \(2ου\) βαθμού, αν και μόνο αν:

$$λ^{2}-λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 0 \ \text{και}\ λ\ne 1$$

β) Με \(λ\ne 0\) και \(λ\ne 1\) έχουμε:

$$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0 $$ $$\Leftrightarrow λ(λ-1)x^{2}-(λ-1)(λ+1)x+λ-1=0$$ $$\overset{λ\ne 1}{\Leftrightarrow }λx^{2}-(λ+1)x+1=0$$

που είναι το ζητούμενο.

γ) Με \(λ\ne 0\) και \(λ\ne 1\) η εξίσωση \(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\) έχει διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=[-(λ+1)]^{2}-4\cdot λ\cdot 1$$ $$=λ^{2}+2λ+1-4λ$$ $$=(λ-1)^{2}>0$$

Επομένως η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

δ) Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm \sqrt{(λ-1)^{2}}}{2λ}$$ $$=\dfrac{λ+1\pm (λ-1)}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{λ+1+λ-1}{2λ}=1 \\ \\ \dfrac{λ+1-λ+1}{2λ}=\dfrac{1}{λ} \end{cases}$$