ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$2\le |x|\le 3\iff$$ $$2\le |x|(1)$$ $$\text{και}|x|\le 3(2)$$

Από την ανίσωση $(1)$ βρίσκουμε:

$$2\le |x|$$ $$\iff x\ge 2\text{ή}x\le -2(3)$$

Από την ανίσωση $(2)$ βρίσκουμε:

$$|x|\le 3$$ $$\iff -3\le x\le 3(4)$$

Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων $(3)$ και $(4)$ στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα
που ακολουθεί:

Οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: $x\in [-3,-2]\cup [2,3](5)$.

Το τριώνυμο $x^2-4x$ έχει ρίζες τις $0$ και $4$ αφού:

$$x^2-4x=0$$ $$\iff x(x-4)-0$$ $$\iff x=0\text{ή}x=4$$

Το πρόσημο του τριωνύμου $x^2-4x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: $x^2-4x<0\iff x\in (0,4)(6)$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων $(5)$ και $(6)$ στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: $x\in [2,3]$

γ) Επειδή ${\rho }_1,{\rho }_2\in [2,3]$ ισχύει ότι:

$$2\le {\rho }_1\le 3(7)$$ $$\text{και}2\le {\rho }_2\le 3(8)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις $(7)$ και $(8)$ και βρίσκουμε:

$$2+2\le {\rho }_1+{\rho }_2\le 3+3$$ $$\iff 4\le {\rho }_1+{\rho }_2\le 6$$ $$\iff {\displaystyle \frac{4}{2}}\le {\displaystyle \frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}}\le {\displaystyle \frac{6}{2}}$$ $$\iff 2\le {\displaystyle \frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}}\le 3$$

Άρα ${\displaystyle \frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}}\in [2,3]$, οπότε και ο αριθμός ${\displaystyle \frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}}$ είναι κοινή τους λύση.

Σημείωση: Ο αριθμός ${\displaystyle \frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}}$ εκφράζει το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αριθμούς ${\rho }_1,{\rho }_2$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών.