ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$|x+1|\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2\le x+1\le 2 $$ $$\Leftrightarrow -2-1\le x+1-1\le 2-1 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-x-2\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=-2\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \\ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει:

$$x^{2}-x-2>0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty)\ \ \ \ (2)$$

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((1)\) και \((2)\) στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: \(x\in [-3,-1)\).

γ) Επειδή \(ρ_{1},ρ_{2}\in [-3,-1)\) ισχύει ότι:

$$-3\le ρ_{1}<-1\ \ \ \ (3)$$

και:

$$-3\le ρ_{2}<-1 $$ $$\Leftrightarrow 3\ge -ρ_{2}>1 $$ $$\Leftrightarrow 1<-ρ_{2}\le 3\ \ \ \ (4)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((3)\) και \((4)\) και βρίσκουμε:

$$-3+1<ρ_{1}-ρ_{2}<1+1 $$ $$\Leftrightarrow -2<ρ_{1}-ρ_{2}<2$$

Άρα \(ρ_{1}-ρ_{2}\in (-2,2)\).