ΛΥΣΗ

α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το $4$, οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με ${\alpha }_1=3$ και $\omega =4$.

β) Είναι:

$$S_{40}={\displaystyle \frac{[2\cdot 3+(40-1)\cdot 4]\cdot 40}{2}}$$ $$=(6+39\cdot 4)\cdot 20=3240$$

γ) Για να είναι ο αριθμός $120$ ένας από τους $40$ αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός $\nu$, ώστε:

$${\alpha }_{\nu }=120$$ $$\iff 3+(\nu -1)\cdot 4=120$$ $$\iff 3+4\nu -4=120$$ $$\iff 4\nu =121$$ $$\iff \nu ={\displaystyle \frac{121}{4}}$$

Ο αριθμός ${\displaystyle \frac{121}{4}}$ δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός $120$ να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.

δ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός $235$. Είναι:

$${\alpha }_{\nu }=235$$ $$\iff 3+(\nu -1)\cdot 4=235$$ $$\iff 3+4\nu -4=235$$ $$\iff 4\nu =236$$ $$\iff \nu =59$$

Είναι:

$$S_{59}={\displaystyle \frac{({\alpha }_1+{\alpha }_{59})\cdot 59}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{(3+235)\cdot 59}{2}}=7021$$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$$S=S_{59}-S_{40}$$ $$=7021-3240=3781$$