ΛΥΣΗ

α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το \(4\), οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_1 = 3\) και \(ω = 4\).

β) Είναι:

$$S_{40}=\dfrac{[2\cdot 3+(40-1)\cdot 4]\cdot 40}{2}$$ $$=(6+39\cdot 4)\cdot 20=3240$$

γ) Για να είναι ο αριθμός \(120\) ένας από τους \(40\) αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\), ώστε:

$$α_{ν}=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=120 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=120 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=121 $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{121}{4}$$

Ο αριθμός \(\dfrac{121}{4}\) δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός \(120\) να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.

δ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός \(235\). Είναι:

$$α_{ν}=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+(ν-1)\cdot 4=235 $$ $$\Leftrightarrow 3+4ν-4=235 $$ $$\Leftrightarrow 4ν=236 $$ $$\Leftrightarrow ν=59$$

Είναι:

$$S_{59}=\dfrac{(α_{1}+α_{59})\cdot 59}{2}$$ $$=\dfrac{(3+235)\cdot 59}{2}=7021$$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι:

$$S=S_{59}-S_{40}$$ $$=7021-3240=3781$$