ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο: $x^2-4x+2-{\lambda }^2$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-4$, $\gamma =2-{\lambda }^2$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (2-{\lambda }^2)$$ $$=16-8+4{\lambda }^2$$ $$=8+4{\lambda }^2$$

Είναι $\Delta =8+4{\lambda }^2>0$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ οπότε η εξίσωση $x^2-4x+2-{\lambda }^2=0$ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$.

β) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε

1. $S=x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=-{\displaystyle \frac{-4}{1}}=4$

2. $P=x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{2-{\lambda }^2}{1}}=2-{\lambda }^2$

γ) Έστω $x_1=2+\sqrt{3}$ και $x_2$ η ζητούμενη ρίζα. Τότε:

1. Από το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:

$$x_1+x_2=4$$ $$\iff 2+\sqrt{3}+x_2=4$$ $$\iff x_2=4-2-\sqrt{3}$$ $$\iff x_2=2-\sqrt{3}$$

2. Από το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:

$$x_1\cdot x_2=2-{\lambda }^2$$ $$\iff (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2-{\lambda }^2$$ $$\iff 2^2-{\sqrt{3}}^2=2-{\lambda }^2$$ $$\iff 4-3=2-{\lambda }^2$$ $$\iff {\lambda }^2=1$$ $$\iff \lambda =\pm 1$$