Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5319 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36676 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36676
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=αxα+2 και g(x)=x2α+3 με αR.

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (1,2) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α.
(Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη 1, τότε:

  1. Να αποδείξετε ότι α=2.
    (Μονάδες 4)

  2. Για α=2 υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
    (Μονάδες 4)

γ) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των f και g είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x2αx+1=0 και στη συνέχεια ότι για α=3, α=2, α=1 έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημεία τομής.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,2) αν και μόνο αν f(1)=2.

Είναι f(1)=α1α+2=2 για κάθε αR, οπότε πράγματι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (1,2) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α.

β) Αφού οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη 1, ισχύει ότι: f(1)=g(1).

  1. Είναι

f(1)=g(1) αα+2=12α+3 α=2

  1. Για α=2 έχουμε f(x)=2x2+2=2x και g(x)=x22+3=x2+1

    Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=R και η g το Β=R. Οι τετμημένες των κοινών σημείων των Cf και Cg είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=g(x). Είναι:

    f(x)=g(x) 2x=x2+1 x22x+1=0 (x1)2=0 x=1

    Επομένως δεν υπάρχει άλλο κοινό σημείο εκτός από αυτό με τετμημένη 1.

γ) Το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των f και g είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

f(x)=g(x) αxα+2=x2α+3 x2αx+1=0

Η παραπάνω εξίσωση είναι 2ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσάς της:

Δ=(α)2411=α24

Για α=3 είναι Δ=324=94=5>0 οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.

Για α=2 είναι Δ=(2)24=44=0 οπότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο.

Για α=1 είναι Δ=124=14=3<0 οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.