ΛΥΣΗ

α) Είναι $x^2<x\iff x^2-x<0$.

Το πολυώνυμο $x^2-x$ έχει ρίζες τις $0$ και $1$ αφού:

$$x^2-x=0$$ $$\iff x(x-1)=0$$ $$\iff x=0\text{ή}x=1$$

Το πρόσημο του $x^2-x$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: $x^2-x<0\iff x\in (0,1)$.

β)

1. Αφού $0<\alpha <1$ με βάση το α) έχουμε ότι ${\alpha }^2<\alpha$.

   Επίσης $\alpha \ne 0$ οπότε ${\alpha }^2>0$.

   Τέλος αφού $0<\alpha <1$ είναι και $0<\sqrt{\alpha }<1$ οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: ${\sqrt{\alpha }}^2<\sqrt{\alpha }\Rightarrow \alpha <\sqrt{\alpha }$.

   Συνεπώς: $0<{\alpha }^2<\alpha <\sqrt{\alpha }<1$.

2. Ισοδύναμα βρίσκουμε:

   $$\sqrt{1+\alpha }<1+\sqrt{\alpha }$$ $$\iff {\sqrt{1+\alpha }}^2<(1+\sqrt{\alpha }{)}^2$$ $$\iff 1+\alpha <1+2\sqrt{\alpha }+\alpha$$ $$\iff 0<2\sqrt{\alpha }$$

   που ισχύει για κάθε $\alpha >0$.