ΛΥΣΗ

α) Πρέπει:

$$|x|-3\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow |x|\ne 3 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x\ne 3 \\ \text{και} \\ x\ne -3 \end{cases}$$

Άρα το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \(Α=\mathbb{R}-\{3,-3\}\).

β) Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση:

$$x^{2}-5|x|+6=|x|^{2}-5|x|+6$$

Θέτουμε \(|x|=y\ \ (1)\) και η παράσταση \(|x|^{2}-5|x|+6\) γίνεται: \(y^{2}-5y+6\)

Το τριώνυμο \(y^{2}-5y+6\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6$$ $$=25-24=1>0$$

και ρίζες τις:

$$y_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 1}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} y_{1} = \dfrac{5+1}{2} = \dfrac{6}{2} =3 \\ \\ y_{2} = \dfrac{5-1}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \end{cases}$$

Έτσι το τριώνυμο \(y^{2}-5y+6\) γίνεται:

$$y^{2}-5y+6=(y-2)(y-3)$$

και επομένως:

$$|x|^{2}-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)$$

Τελικά ο τύπος της \(f\) γίνεται:

$$f(x)=\dfrac{x^{2}-5|x|+6}{|x|-3}$$ $$=\dfrac{(|x|-2)(|x|-3)}{|x|-3}=|x|-2$$

για κάθε \(x\in Α=\mathbb{R}-\{3,-3\}\).

γ) Η εξίσωση \((f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\) με \(f(x)=|x|-2\) γράφεται:

$$(|x|-2+2)^{2}-4(|x|-2)-5=0 $$ $$\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+8-5=0 $$ $$\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+3=0$$

Θέτουμε \(|x|=z \ \ (2)\) και βρίσκουμε:

$$z^{2}-4z+3=0$$

Το τριώνυμο \(z^{2}-4z+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3$$ $$=16-12=4>0$$

και ρίζες τις:

$$z_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1} =\dfrac{4\pm 2}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} z_{1} = \dfrac{4+2}{2} = \dfrac{6}{2} =3 \\ \\ z_{2} = \dfrac{4-2}{2} = \dfrac{2}{2} =1 \end{cases}$$

Τότε από την ισότητα \((2)\) βρίσκουμε:

$$z=3 $$ $$\Leftrightarrow |x|=3 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=3 \\ x=-3 \end{cases}$$

οι οποίες όμως απορρίπτονται αφού δεν ανήκουν στο \(Α=\mathbb{R}-\{3,-3\}\).

$$z=1 $$ $$\Leftrightarrow |x|=1 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-1 \end{cases}$$

οι οποίες είναι δεκτές αφού ανήκουν στο \(Α=\mathbb{R}-\{3,-3\}\).