ΛΥΣΗ

α) Πρέπει:

$$|x|-3\ne 0$$ $$\iff |x|\ne 3$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x\ne 3\\ \text{και}\\ x\ne -3\end{array}$$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το ${\rm A}=\mathbb{R}-\{3,-3\}$.

β) Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση:

$$x^2-5|x|+6=|x{|}^2-5|x|+6$$

Θέτουμε $|x|=y(1)$ και η παράσταση $|x{|}^2-5|x|+6$ γίνεται: $y^2-5y+6$

Το τριώνυμο $y^2-5y+6$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6$$ $$=25-24=1>0$$

και ρίζες τις:

$$y_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{y}_1={\displaystyle \frac{5+1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3\\ \\ y_2={\displaystyle \frac{5-1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2\end{array}$$

Έτσι το τριώνυμο $y^2-5y+6$ γίνεται:

$$y^2-5y+6=(y-2)(y-3)$$

και επομένως:

$$|x{|}^2-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)$$

Τελικά ο τύπος της $f$ γίνεται:

$$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-5|x|+6}{|x|-3}}$$ $$={\displaystyle \frac{(|x|-2)(|x|-3)}{|x|-3}}=|x|-2$$

για κάθε $x\in {\rm A}=\mathbb{R}-\{3,-3\}$.

γ) Η εξίσωση $(f(x)+2{)}^2-4f(x)-5=0$ με $f(x)=|x|-2$ γράφεται:

$$(|x|-2+2{)}^2-4(|x|-2)-5=0$$ $$\iff |x{|}^2-4|x|+8-5=0$$ $$\iff |x{|}^2-4|x|+3=0$$

Θέτουμε $|x|=z(2)$ και βρίσκουμε:

$$z^2-4z+3=0$$

Το τριώνυμο $z^2-4z+3$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3$$ $$=16-12=4>0$$

και ρίζες τις:

$$z_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{z}_1={\displaystyle \frac{4+2}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3\\ \\ z_2={\displaystyle \frac{4-2}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1\end{array}$$

Τότε από την ισότητα $(2)$ βρίσκουμε:

$$z=3$$ $$\iff |x|=3$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ x=-3\end{array}$$

οι οποίες όμως απορρίπτονται αφού δεν ανήκουν στο ${\rm A}=\mathbb{R}-\{3,-3\}$.

$$z=1$$ $$\iff |x|=1$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$$

οι οποίες είναι δεκτές αφού ανήκουν στο ${\rm A}=\mathbb{R}-\{3,-3\}$.