ΛΥΣΗ

α) Αφού \(f(2)=g(2)\) έχουμε ισοδύναμα

$$f(2)=g(2) $$ $$\Leftrightarrow 2^{2}-4\cdot 2+α=α\cdot 2-5 $$ $$\Leftrightarrow 4-8+α=2α-5 $$ $$\Leftrightarrow α-2α=-4+8-5 $$ $$\Leftrightarrow -α=-1 $$ $$\Leftrightarrow α=1$$

β) Για \(α=1\) έχουμε \(f(x)=x^{2}-4x+1\) και \(g(x)=x-5\).

1. Η εξίσωση: \(f(x)=g(x)\) γίνεται ισοδύναμα

   $$x^{2}-4x+1=x-5 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-4x+1-x+5=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6=0$$

   Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει διακρίνουσα:

   $$Δ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6$$ $$=25-24=1>0$$

   και ρίζες τις:

   $$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 1}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{5+1}{2} = \dfrac{6}{2} =3 \\ x_{2} = \dfrac{5-1}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \end{cases}$$

2. Η ανίσωση: \(f(x)\ge g(x)\) γίνεται ισοδύναμα

   $$x^{2}-4x+1\ge x-5 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-4x+1-x+5\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+6\ge 0$$

   Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει ρίζες τις \(x_{1}=3\) και \(x_{2}=2\) και το πρόσημο του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

   

   Από τον παραπάνω πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

   $$x^{2}-5x+6\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [3,+\infty)$$

   Από τη ιδιότητα \(|α|=α \Leftrightarrow α\ge 0\) έχουμε ότι:

   $$|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x) $$ $$\Leftrightarrow f(x)-g(x)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [3,+\infty)$$