ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(0,2)$ για οποιαδήποτε τιμή του $\lambda$, αν και μόνο αν ισχύει ότι $f(0)=2$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$.

Πράγματι είναι $f(0)=(\lambda +1)\cdot 0^2-(\lambda +1)\cdot 0+2=2$ για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$.

β) Για $\lambda =-1$ ο τύπος της $f$ γράφεται:

$$f(x)=(-1+1)x^2-(-1+1)x+2=2$$

Επομένως η γραφική παράσταση της $f$ είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα $x^{\prime }x$ που διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(0,2)$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

γ) Η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ στο σημείο ${\rm B}(2,0)$ και επομένως ισχύει ότι $f(2)=0$. Είναι

$$f(2)=0$$ $$\iff (\lambda +1)\cdot 2^2-(\lambda +1)\cdot 2+2=0$$ $$\iff 4\lambda +4-2\lambda -2+2=0$$ $$\iff 2\lambda =-4$$ $$\iff \lambda =-2$$

Για $\lambda =-2$ έχουμε:

$$f(x)=(-2+1)x^2-(-2+1)x+2$$ $$=-x^2+x+2$$

Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον $x^{\prime }x$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης

$$f(x)=0\iff -x^2+x+2=0$$

Το τριώνυμο $-x^2+x+2$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =1^2-4\cdot (-1)\cdot 2$$ $$=1+8=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2\cdot (-1)}}$$ $$={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{-2}}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{-1+3}{-2}}={\displaystyle \frac{2}{-2}}=-1\\ \\ x_2={\displaystyle \frac{-1-3}{-2}}={\displaystyle \frac{-4}{-2}}=2\end{array}$$

Επομένως η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{\prime }x$ εκτός από το ${\rm B}(2,0)$ και στο σημείο $(-1,0)$.

δ) Για $\lambda =1$ ο τύπος της $f$ γράφεται:

$$f(x)=(1+1)x^2-(1+1)x+2$$ $$=2x^2-2x+2$$ $$=2(x^2-x+1)$$

Το τριώνυμο $x^2-x+1$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 1$$ $$=1-4=-3<0$$

οπότε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ είναι ομόσημο του συντελεστή του $x^2$, δηλαδή του $\alpha =1>0$.

Επομένως για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει ότι:

$$x^2-x+1>0$$ $$\iff 2(x^2-x+1)>0$$ $$\iff f(x)>0$$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα $x^{\prime }x$.