ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2+x+1$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1$$ $$=1-4=-3<0$$

οπότε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ είναι ομόσημο του συντελεστή του $x^2$, δηλαδή του $\alpha =1>0$.

Επομένως για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει ότι:

$$x^2+x+1>0$$ $$\iff f(x)>0$$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα $x^{\prime }x$ και άρα δεν τέμνει τον $x^{\prime }x$.

β) Οι τετμημένες των σημείων της $C_f$ που βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y=2x+3$ είναι οι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x)<2x+3$$ $$\iff x^2+x+1<2x+3$$ $$\iff x^2-x-2<0$$

Το τριώνυμο $x^2-x-2$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{1+3}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2\\ \\ x_2={\displaystyle \frac{1-3}{2}}={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\end{array}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου $x^2-x-2$ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Συνεπώς:

$$x^2-x-2<0$$ $$\iff x\in (-1,2)$$

γ) Αφού $|2x-1|<3$, έχουμε ισοδύναμα ότι:

$$|2x-1|<3$$ $$\iff -3<2x-1<3$$ $$\iff -3+1<2x-1+1<3+1$$ $$\iff -2<2x<4$$ $$\iff -1<x<2$$

Αφού για την τετμημένη $x$ του σημείου ${\rm M}$ ισχύει $-1<x<2$ τότε, όπως δείξαμε στο ερώτημα β), το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y=2x+3$.