ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}+x+1\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$ $$=1-4=-3<0$$

οπότε για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) είναι ομόσημο του συντελεστή του \(x^{2}\), δηλαδή του \(α=1>0\).

Επομένως για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) ισχύει ότι:

$$x^{2}+x+1>0 $$ $$\Leftrightarrow f(x)>0$$

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα \(x'x\) και άρα δεν τέμνει τον \(x'x\).

β) Οι τετμημένες των σημείων της \(C_{f}\) που βρίσκονται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\) είναι οι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x)<2x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x+1<2x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x-2<0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-x-2\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)$$ $$=1+8=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} =2 \\ \\ x_{2} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = - 1 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου \(x^{2}-x-2\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Συνεπώς:

$$x^{2}-x-2<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-1,2)$$

γ) Αφού \(|2x-1|<3\), έχουμε ισοδύναμα ότι:

$$|2x-1|<3 $$ $$\Leftrightarrow -3<2x-1<3 $$ $$\Leftrightarrow -3+1<2x-1+1<3+1 $$ $$\Leftrightarrow -2 < 2x < 4 $$ $$\Leftrightarrow -1 < x < 2$$

Αφού για την τετμημένη \(x\) του σημείου \(Μ\) ισχύει \(-1 < x < 2\) τότε, όπως δείξαμε στο ερώτημα β), το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία \(y=2x+3\).