ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το ${\rm A}=\mathbb{R}$ και η $g$ το ${\rm B}=\mathbb{R}$.
Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$, είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=g(x)$. Είναι:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff x^2-2x=3x-4$$ $$\iff x^2-5x+4=0$$

Το τριώνυμο $x^2-5x+4$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1={\displaystyle \frac{5+3}{2}}={\displaystyle \frac{8}{2}}=4\\ \\ x_2={\displaystyle \frac{5-3}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1\end{array}$$

Για $x=4$ έχουμε:

$$g(4)=3\cdot 4-4=12-4=8$$

Για $x=1$ έχουμε:

$$g(1)=3\cdot 1-4=3-4=-1$$

Συνεπώς τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$, είναι τα ${\rm A}(4,8)$ και ${\rm B}(1,-1)$.

β) Τα διαστήματα για τα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από εκείνη της $g$ είναι εκείνα για τα οποία ισχύει: $f(x)<g(x)$. Είναι:

$$f(x)<g(x)$$ $$\iff x^2-2x<3x-4$$ $$\iff x^2-5x+4<0$$

Το τριώνυμο $x^2-5x+4$ έχει και ρίζες τις $x_1=4$, $x_2=1$ και το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^2-5x+4<0$$ $$\iff x\in (1,4)$$

γ) Kάθε ευθεία της μορφής $y=\alpha$, $\alpha <-1$, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$, αν και μόνο αν ισχύει: $f(x)>\alpha$, για κάθε $\alpha <-1$. Είναι:

$$f(x)>\alpha$$ $$\iff x^2-2x>\alpha$$ $$\iff x^2-2x-\alpha >0$$

Το τριώνυμο $x^2-2x-\alpha$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-\alpha )$$ $$=4+4\alpha <0\text{, για κάθε}\alpha <-1$$

οπότε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ είναι ομόσημο του συντελεστή του $x^2$, δηλαδή του $\alpha =1>0$.

Επομένως για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει ότι:

$$x^2-2x-\alpha >0$$ $$\iff f(x)>\alpha$$

που σημαίνει ότι κάθε ευθεία της μορφής $y=\alpha$, $\alpha <-1$, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$.