Λύση

α) Ισχύει ότι:

$${\rm K}={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+4x+4}}{x+2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-6x+9}}{x-3}}$$ $$={\displaystyle \frac{\sqrt{(x+2{)}^2}}{x+2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{(x-3{)}^2}}{x-3}}$$ $$={\displaystyle \frac{|x+2|}{x+2}}-{\displaystyle \frac{|x-3|}{x-3}}$$

Η παράσταση ${\rm K}$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:

$$\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 3\end{array}$$

Οπότε πρέπει $x\ne -2,3$.

β) Ισχύει ότι: $-2<x<3$, οπότε $x+2>0\text{και}x-3<0$.

Άρα $|x+2|=x+2$ και $|x-3|=-(x-3)$.

Οπότε:

$$K={\displaystyle \frac{|x+2|}{x+2}}-{\displaystyle \frac{|x-3|}{x-3}}$$ $$={\displaystyle \frac{x+2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{-(x-3)}{x-3}}$$ $$=1+1=2$$

που είναι ανεξάρτητη του $x$.