Λύση

α) Ισχύει ότι:

$$Κ=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}−\dfrac{\sqrt{x^{2}−6x+9}}{x−3}$$ $$=\dfrac{\sqrt{(x+2)^{2}}}{x+2}−\dfrac{\sqrt{(x−3)^{2}}}{x−3}$$ $$=\dfrac{|x+2|}{x+2}−\dfrac{|x−3|}{x−3}$$

Η παράσταση \(Κ\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:

$$\begin{cases} x + 2 \ne 0 \\ x − 3 \ne 0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ne − 2 \\ x \ne 3 \end{cases}$$

Οπότε πρέπει \(x\ne −2,3\).

β) Ισχύει ότι: \(−2 < x < 3\), οπότε \(x+2 > 0\ \ \text{και}\ \ x−3 < 0\).

Άρα \(|x+2|=x+2\) και \(|x−3|=−(x−3)\).

Οπότε:

$$K=\dfrac{|x+2|}{x+2}−\dfrac{|x−3|}{x−3}$$ $$=\dfrac{x+2}{x+2}−\dfrac{−(x−3)}{x−3}$$ $$=1+1=2$$

που είναι ανεξάρτητη του \(x\).