ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ ορίζεται για τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει:

$$x-2\ne 0\iff x\ne 2$$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι ${\rm A}=\mathbb{R}-\{2\}$.

β)
i. Έχουμε ισοδύναμα:

$$f(x)=0$$ $$\iff {\displaystyle \frac{x^2-1}{x-2}}=0$$ $$\stackrel{x\ne 2}{\iff }{x}^2-1=0$$

οπότε:

$$x^2=1$$

και τελικά:

$$x=-1\text{ή}x=1$$

Άρα για $x=-1$ και $x=1$, $f(x)=0$.

ii. Έχουμε:

$$f(0)={\displaystyle \frac{0^2-1}{0-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

και:

$$f(3)={\displaystyle \frac{3^2-1}{3-2}}=8$$

γ) Από το βi ερώτημα έχουμε $f(-1)=0$ και $f(1)=0$. Από το βii ερώτημα έχουμε $f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Άρα η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{\prime }x$ άξονα στα σημεία $(-1,0)$ και $(1,0)$ και τον $y^{\prime }y$ άξονα στο σημείο $(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$.