α) Έχουμε ισοδύναμα:

$${\displaystyle \frac{|x|}{3}}-{\displaystyle \frac{|x|+4}{5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$\iff 5|x|-3(|x|+4)=10$$ $$\iff 5|x|-3|x|-12=10$$ $$\iff 2|x|=22$$ $$\iff |x|=11$$ $$\iff x=-11\text{ ή }x=11$$

β) Το τριώνυμο $-x^2+2x+3$ έχει διακρίνουσα $\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma =2^2-4\cdot (-1)\cdot 3=16>0$ και ρίζες τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-\beta -\sqrt{\Delta }}{2\alpha }}={\displaystyle \frac{-2-4}{2\cdot (-1)}}=3$$

$$x_2={\displaystyle \frac{-\beta +\sqrt{\Delta }}{2\alpha }}={\displaystyle \frac{-2+4}{2\cdot (-1)}}=-1$$

Από τον παρακάτω πίνακα προσήμου, βλέπουμε ότι η ανίσωση $-x^2+2x+3\le 0$ αληθεύει για $x\le -1$ ή $x\ge 3$.

γ) Οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος, διότι $-11\in (-\mathrm{\infty },1]$ και $11\in [3,+\mathrm{\infty })$.