ΛΥΣΗ

α) Η ακολουθία των \(ν\) πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων \(1\), \(2\), \(3\), ..., \(ν\) είναι αριθμητική πρόοδος με \(α_{1}=1\), \(ω=1\) και \(α_{ν}=ν\). Άρα το άθροισμα των \(ν\) πρώτων όρων αυτής, είναι:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (α_{1}+α_{ν})$$

δηλαδή:

$$S_{ν}=\dfrac{ν}{2}\cdot (1+ν)$$

β) Ψάχνουμε το πλήθος \(ν\) των όρων που έχουν άθροισμα \(45\), δηλαδή το \(ν\) ώστε \(S_{ν}=45\), δηλαδή \(\dfrac{ν}{2}\cdot (1+ν)=45\), οπότε \(ν\cdot (ν+1)=90\). Οι δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με \(90\) είναι οι αριθμοί \(9\) και \(10\) (δηλαδή \(ν=9\) και \(ν+1=10\)). Άρα το άθροισμα των \(9\) πρώτων φυσικών αριθμών είναι ίσο με \(45\).