ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\alpha +{\displaystyle \frac{4}{\alpha }}\ge 4$$ $$\stackrel{\alpha >0}{\iff }{\alpha }^2+\alpha \cdot {\displaystyle \frac{4}{\alpha }}\ge 4\alpha$$

οπότε:

$${\alpha }^2+4\ge 4\alpha$$

δηλαδή:

$${\alpha }^2-4\alpha +4\ge 0$$

και τελικά:

$$(\alpha -2{)}^2\ge 0$$

που ισχύει.

β) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι $\alpha +{\displaystyle \frac{4}{\alpha }}\ge 4$ και ομοίως $\beta +{\displaystyle \frac{4}{\beta }}\ge 4$. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:

$$(\alpha +{\displaystyle \frac{4}{\alpha }})(\beta +{\displaystyle \frac{4}{\beta }})\ge 16$$