ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$α+\dfrac{4}{α}\ge 4$$ $$\overset{α>0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{4}{α}\ge 4α$$

οπότε:

$$α^{2}+4\ge 4α$$

δηλαδή:

$$α^{2}-4α+4\ge 0$$

και τελικά:

$$(α-2)^{2}\ge 0$$

που ισχύει.

β) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(α+\dfrac{4}{α}\ge 4\) και ομοίως \(β+\dfrac{4}{β}\ge 4\). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:

$$\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\ge 16$$