ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) έχουν:

• \(ΕΓ\) κοινή
• \(BE = ΔΓ\) ως διαφορά των ίσων τμημάτων \(ΑΕ\), \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\), \(ΑΔ\) αντίστοιχα
• \(\hat{ΑΕΓ} = \hat{ΑΓΕ}\), αφού \(ΕΑΓ\) ισοσκελές τρίγωνο

Τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΒΓ=ΔΕ\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{ΑΕΓ}\) και \(\hat{ΑΓΕ}\).

β) Επειδή τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΔΕΓ\) είναι ίσα προκύπτει ότι \(\hat{ΔΕΓ} = \hat{ΔΓΕ}\) οπότε το τρίγωνο \(ΚΕΓ\) είναι ισοσκελές, άρα \(ΕΚ= ΚΓ\ \ (1)\).

Τα τρίγωνα \(ΒΕΚ\) και \(ΔΚΓ\) έχουν:

• \(ΕΚ=ΚΓ\), λόγω της \((1)\)
• \(BE=ΔΓ\), ως διαφορές των ίσων τμημάτων \(ΑΕ\), \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\), \(ΑΔ\) αντίστοιχα
• \(\hat{ΒΕΚ} = \hat{ΔΓΚ}\) ως διαφορές των ίσων γωνιών \(\hat{ΒΕΓ}\), \(\hat{ΚΕΓ}\) και \(\hat{ΔΓΕ}\), \(\hat{ΚΓΕ}\) αντίστοιχα

Τα τρίγωνα \(ΒΕΚ\) και \(ΔΚΓ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΒΚ=ΚΔ\) αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{ΒΕΚ}\) και \(\hat{ΔΓΚ}\).

γ) Τα τρίγωνα \(ΑΒΚ\) και \(ΑΚΔ\) έχουν:

• \(ΒΚ=ΚΔ\) από το (β) ερώτημα
• \(ΑΚ\) κοινή
• \(ΑΒ=ΑΔ\)

Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΒΚ\) και \(ΑΚΔ\) είναι ίσα γιατί έχουν τρεις πλευρές ίσες μία προς μία.

Επομένως \(\hat{ΒΑΚ} = \hat{ΚΑΔ}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΒΚ\) και \(ΚΔ\), οπότε η \(ΑΚ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Α}\).

δ) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΕΓ\) είναι ισοσκελές και η \(ΑΜ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Α}\), θα είναι διάμεσος και ύψος, άρα η \(ΑΜ\) είναι μεσοκάθετος της \(ΕΓ\).