ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm Z}\Delta$ και ${\rm B}{\rm M}\Delta$ έχουν:

• $\Delta Z=\Delta M$, από υπόθεση
• ${\rm A}\Delta =\Delta {\rm B}$, διότι $\Delta$ είναι μέσο του ${\rm A}{\rm B}$
• $\widehat{A\Delta Z}=\widehat{B\Delta {\rm M}}$, ως κατακορυφήν

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm Z}\Delta$ και ${\rm B}{\rm M}\Delta$ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα.

β) Το $\Delta {\rm M}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm B}\Gamma$ στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, άρα η $\Delta {\rm M}\parallel {\rm A}\Gamma$ οπότε και ${\rm Z}{\rm M}\parallel {\rm A}\Gamma$ και $\Delta {\rm M}={\displaystyle \frac{{\rm A}\Gamma }{2}}$. Όμως το $\Delta$ είναι μέσο του ${\rm Z}{\rm M}$ άρα $\Delta {\rm M}={\displaystyle \frac{{\rm Z}{\rm M}}{2}}$. Συνεπώς ${\rm Z}{\rm M}={\rm A}\Gamma$.

Τελικά οι απέναντι πλευρές ${\rm Z}{\rm M}$ και ${\rm A}\Gamma$ του τετραπλεύρου ${\rm Z}{\rm A}\Gamma {\rm M}$ είναι παράλληλες και ίσες οπότε το τετράπλευρο ${\rm Z}{\rm A}\Gamma {\rm M}$ είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Επειδή το ${\rm Z}{\rm A}\Gamma {\rm M}$ είναι παραλληλόγραμμο ισχύει ότι ${\rm Z}{\rm A}\parallel {\rm M}\Gamma$ δηλαδή ${\rm Z}{\rm A}\parallel {\rm B}\Gamma$ και ${\rm Z}{\rm A}={\rm M}\Gamma$.

Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ το $\Delta {\rm E}$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου οπότε:
$\Delta {\rm E}\parallel {\rm B}\Gamma$ και $\Delta {\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}$.

Όμως το ${\rm M}$ είναι μέσο του ${\rm B}\Gamma$ άρα $\Delta {\rm E}={\rm M}\Gamma$.

Οπότε ${\rm Z}{\rm A}\parallel \Delta {\rm E}$ και ${\rm Z}{\rm A}=\Delta {\rm E}$, δηλαδή το τετράπλευρο ${\rm Z}{\rm A}{\rm E}\Delta$ έχει τις απέναντι πλευρές του ${\rm Z}{\rm A}$ και $\Delta {\rm E}$ ίσες παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο.

Επιπλέον ισχύει ότι: ΔΕ = ${\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}$ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο οπότε ${\rm B}\Gamma ={\rm A}\Gamma$. Συνεπώς $\Delta {\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm A}\Gamma }{2}}$. Όμως ${\rm E}$ μέσο του ${\rm A}\Gamma$ άρα ${\rm A}{\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm A}\Gamma }{2}}$. Οπότε $\Delta {\rm E}={\rm A}{\rm E}$.

Επομένως το παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm E}\Delta {\rm Z}$ έχει τις διαδοχικές του πλευρές $\Delta {\rm E}$ και ${\rm A}{\rm E}$ ίσες οπότε είναι ρόμβος.

Τα τμήματα ${\rm Z}{\rm E}$, ${\rm A}\Delta$ είναι διαγώνιοι του ρόμβου, οπότε τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται.

δ) Είναι ${\rm Z}\Delta =\Delta {\rm M}={\displaystyle \frac{{\rm A}\Gamma }{2}}={\displaystyle \frac{{\rm A}{\rm B}}{2}}$.

Στο τρίγωνο ${\rm Z}{\rm A}{\rm B}$ η ${\rm Z}\Delta$ είναι διάμεσος και ισούται με το μισό της πλευράς ${\rm A}{\rm B}$ στην οποία αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο ${\rm Z}{\rm A}{\rm B}$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ${\rm A}{\rm B}$, οπότε η $ZB$ είναι κάθετη στη ${\rm Z}{\rm A}$.