ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $-x^2+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}$ έχει συντελεστές $a=-1$, $\beta =\sqrt{3}-1$, $\gamma =\sqrt{3}$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(\sqrt{3}-1{)}^2-4\cdot (-1)\cdot \sqrt{3}$$ $$={\sqrt{3}}^2-2\sqrt{3}+1^2+4\sqrt{3}$$ $$={\sqrt{3}}^2+2\sqrt{3}+1^2$$ $$=(\sqrt{3}+1{)}^2>0$$

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2a}}$$ $$={\displaystyle \frac{-(\sqrt{3}-1)\pm \sqrt{(\sqrt{3}+1{)}^2}}{2\cdot (-1)}}$$ $$=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2}}& =-1\\ {\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2}}& =\sqrt{3}\end{array}$$

Επομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:

$$-x^2+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}=-(x-(-1))(x-\sqrt{3})$$ $$=-(x+1)(x-\sqrt{3})$$