ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(-x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}\) έχει συντελεστές \(a=-1\), \(β=\sqrt{3}-1\), \(γ=\sqrt{3}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(\sqrt{3}-1)^{2}-4\cdot (-1)\cdot \sqrt{3}$$ $$=\sqrt{3}^{2}-2\sqrt{3}+1^{2}+4\sqrt{3}$$ $$=\sqrt{3}^{2}+2\sqrt{3}+1^{2}$$ $$=(\sqrt{3}+1)^{2}>0$$

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(\sqrt{3}-1)\pm \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}}{2\cdot (-1)}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2} &=-1 \\ \dfrac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{-2} &= \sqrt{3} \end{cases}$$

Επομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:

$$-x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}=-(x-(-1))(x-\sqrt{3})$$ $$=-(x+1)(x-\sqrt{3})$$