α) Το τριώνυμο: \(x^{2}-x-2\) έχει \(α=1,\ β = -1,\ γ= -2\) και διακρίνουσα:

$$\begin{align} Δ & =β^{2}-4αγ \\ & =(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)\\ & =1+8\\ & =9>0\end{align}$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} \\ &=\begin{cases} \dfrac{1+3}{2}=2 \\ \dfrac{1-3}{2}=-1 \end{cases} \end{align}$$

β) Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως ισχύει ότι:

$$x^{2}-x-2>0$$ $$\Leftrightarrow x\lt -1 \text{ή } x>2$$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty)$$

γ)

Το \(-\frac{4}{3}\) ανήκει στο διάστημα \((-\infty ,-1)\), οπότε είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (β).