ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$A=x^{3}-x^{2}+3x-3$$ $$= x^{2}(x-1)+3(x-1)$$ $$= (x-1)(x^{2}+3)$$

β) Η συνάρτηση \(f\) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \(Α=\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\{0\}\) και η συνάρτηση \(g\) το σύνολο \(Β=\mathbb{R}\).

Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:

$$\begin{cases} y = f (x) \\ y = g(x) \end{cases}$$

Έχουμε:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3}{x}=x^{2}-x+3 $$ $$\Leftrightarrow 3=x(x^{2}-x+3) $$ $$\Leftrightarrow 3=x^{3}-x^{2}+3x $$ $$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+3x-3=0$$ $$\overset{(a)}{ \Leftrightarrow } \\ (x-1)(x^{2}+3)=0 $$ $$\Leftrightarrow x-1=0\ \text{ή}\ x^{2}+3=0\ \text{αδύνατη}$$ $$\Leftrightarrow x=1$$

Για \(x=1\) είναι \(f(1)=3\).

Άρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\), \(g\) είναι το \(Α(1,3)\).