ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$A=x^3-x^2+3x-3$$ $$=x^2(x-1)+3(x-1)$$ $$=(x-1)(x^2+3)$$

β) Η συνάρτηση $f$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ${\rm A}={\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}-\{0\}$ και η συνάρτηση $g$ το σύνολο ${\rm B}=\mathbb{R}$.

Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:

$$\{\begin{array}{l}y=f(x)\\ y=g(x)\end{array}$$

Έχουμε:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff {\displaystyle \frac{3}{x}}=x^2-x+3$$ $$\iff 3=x(x^2-x+3)$$ $$\iff 3=x^3-x^2+3x$$ $$\iff x^3-x^2+3x-3=0$$ $$\begin{gathered} \stackrel{(a)}{\iff } \\ (x-1)(x^2+3)=0 \end{gathered}$$ $$\iff x-1=0\text{ή}{x}^2+3=0\text{αδύνατη}$$ $$\iff x=1$$

Για $x=1$ είναι $f(1)=3$.

Άρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$, $g$ είναι το ${\rm A}(1,3)$.