α) Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+6\) έχει \(α=1,\ β=-5,\ γ=6\) και διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ & = \dfrac{5\pm 1}{2}\\ & = \begin{cases} \dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \\ \dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \end{cases} \end{align}$$

$$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$$

β)

1. Πρέπει:

   $$x^{2}-5x+6\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-2)(x-3)\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow \left\{ x-2\ne 0 \text{ και } x-3\ne 0 \right\} $$ $$\Leftrightarrow \left\{ x\ne 2 \text{ και } x\ne 3 \right\}$$

   Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το \(A=\mathbb{R}-\{2,3\}\).

2. Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) γράφεται:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}\\ & =\dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}\\ & =\dfrac{1}{x-3}\end{align}$$