ΛΥΣΗ

α) Επειδή το πλήθος των καθισμάτων της κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων \(ω\), οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \((α_{ν})\) με \(α_{1}=16\) και διαφορά \(ω\).
Είναι:

$$α_{7}=28 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(7-1)ω=28 $$ $$\Leftrightarrow 16+6ω=28 $$ $$\Leftrightarrow 6ω=12 $$ $$\Leftrightarrow ω=2$$

Άρα \(α_{1}=16\) και \(ω=2\).

β) Έχουμε:

$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$ $$\Leftrightarrow α_{ν}=16+(ν-1)\cdot 2 $$ $$\Leftrightarrow α_{ν}=16+2ν-2 $$ $$\Leftrightarrow α_{ν}=2ν+14\ \text{με}\ 1\le ν\le 20$$

γ) Το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου είναι:

$$S_{20}=\dfrac{20}{2}[2α_{1}+(20-1)ω] $$ $$\Leftrightarrow S_{20}=10(2\cdot 16+19\cdot 2) $$ $$\Leftrightarrow S_{20}=10(32+38) $$ $$\Leftrightarrow S_{20}=10\cdot 70 $$ $$\Leftrightarrow S_{20}=700$$

δ) Ο αριθμός των κενών καθισμάτων σε κάθε σειρά είναι αριθμητική πρόοδος \((β_{ν})\) με \(β_{1}=6\) και \(ω=3\). Ο ν-οστός όρος που εκφράζει το πλήθος των κενών καθισμάτων είναι:

$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)ω $$ $$\Leftrightarrow β_{ν}=6+(ν-1)\cdot 3 $$ $$\Leftrightarrow β_{ν}=6+3ν-3 $$ $$\Leftrightarrow β_{ν}=3ν+3$$

Άρα \(β_{ν}=3ν+3\) με \(1\le ν\le 11\) (διότι τα κενά καθίσματα δε μπορεί να είναι περισσότερα από τα καθίσματα της κάθε σειράς, δηλαδή πρέπει \(β_{ν}\le α_{ν} \Leftrightarrow ν\le 11\))

1. Όλα τα καθίσματα θα είναι κενά της ν-οστής σειράς, όταν:

   $$β_{ν}=α_{ν} $$ $$\Leftrightarrow 3ν+3=2ν+14 $$ $$\Leftrightarrow ν=11$$

   Άρα από την \(11η\) σειρά μέχρι την \(20η\), όλα τα καθίσματα είναι κενά.

2. Το πλήθος των κενών καθισμάτων στις \(10\) πρώτες σειρές είναι:

   $$S_{10}'=\dfrac{10}{2}[2β_{1}+(10-1)ω] $$ $$\Leftrightarrow S_{10}'=5(2\cdot 6+9\cdot 3) $$ $$\Leftrightarrow S_{10}'=5\cdot 39 $$ $$\Leftrightarrow S_{10}'=195$$

   Το πλήθος των καθισμάτων στις πρώτες \(10\) σειρές είναι:

   $$S_{10}=\dfrac{10}{2}[2α_{1}+(10-1)ω] $$ $$\Leftrightarrow S_{10}=5(2\cdot 16+9\cdot 2) $$ $$\Leftrightarrow S_{10}=5\cdot 50 $$ $$\Leftrightarrow S_{10}=250$$

   Ο αριθμός των θεατών που κάθονται στις πρώτες \(10\) θέσεις είναι:

   $$S_{10}-S_{10}'=250-195=55$$

   Αυτός είναι και ο συνολικός αριθμός θεατών, αφού από την \(11η\) σειρά και μετά όλα τα καθίσματα είναι κενά.