Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5665 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14744 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14744
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

α) Να αποδείξετε ότι xx214 για κάθε πραγματικό αριθμό x. Πότε ισχύει το ίσον;
(Μονάδες 8)

β) Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιασθεί η γραφική παράσταση (ε) της συνάρτησης f(x)=1x, xR, η οποία τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα. Ένα μεταβλητό σημείο Α, με τετμημένη α, κινείται επί της ευθείας (ε) και μεταξύ των σημείων Δ και Ε. Φέρνουμε από το Α καθέτους στους άξονες και έστω Β και Γ τα σημεία τομής με yy και xx αντίστοιχα.

  1. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ.
    (Μονάδες 10)

  2. Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του εμβαδού του μεταβλητού ορθογωνίου ΑΒΟΓ είναι 14. Για ποια θέση του σημείου Α επιτυγχάνεται αυτή η τιμή;
    (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α)

xx214 x2x+140 x22x12+(12)20 (x12)20,  ισχύει

Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν:

x12=0 x=12

β)

  1. Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο Δ έχει τετμημένη μηδέν και τεταγμένη f(0)=1, ενώ αν είναι k η τετμημένη του σημείου Ε, η τεταγμένη του θα είναι f(k)=0=1k, άρα k=1. Ώστε Δ(0,1) και Ε(1,0).

    Έστω τώρα ότι α είναι η τετμημένη του σημείου Α, με 0α1, οπότε το σημείο Α έχει τεταγμένη f(α)=1α.

    Έτσι έχουμε Γ(α,0), Α(α,1α), Β(0,1α).

    Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ είναι Ε=α(1α)=αα2.

  2. Σύμφωνα με το α) ερώτημα είναι Ε14, δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή του α, το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται το πολύ 14. Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν α=12, οπότε σε αυτή την περίπτωση είναι Α(12,12), δηλαδή το ΑΒΟΓ θα γίνει τετράγωνο.